Suku Banyak : Materi UTBK / SBMPTN

Artikel ini membahas mengenai barisan/deret aritmatika, pengertian suku banyak, dan contoh soal

Barisan/ Deret Aritmetika

Sebelumnya di kelas X dan 12 kita mempelajari pelajaran matematika dengan tema Suku Banyak. Ada baiknya kita mengenal beberapa istilah terlebih dahulu.

Suatu barisan a/ U₁, U₂, U₃,..,U_n  atau  a, a + b, a + 2b, ..Un disebut barisan aritmetika jika  U₂ – U₁=U₃– U₂dan seterusnya, atau Un – Un-1 = b

Suku ke-n barisan aritmetika  adalah

Un = a + (n-1) b  atau  Un = Sn – Sn-1

dimana a =U₁(suku pertama), n=banyaknya suku, b=beda = Un–Un-1

Suku tengah barisan aritmetika  

Jumlah n suku pertama   Sn = n/2 (a + U_n)  atau Sn = n/2 (2a + (n -1) b)

Barisan /Deret Geometri

Suatu barisan a/ U₁, U₂, U₃, .. ,Un    atau a, ar, ar², ar³, .., Un  disebut barisan geometri jika  dan seterusnya.

• Deret Geometri  Tak Hingga

Deret geometri tak hingga a + ar + ar² + …+ ar^n-1 + … dikatakan :

1. mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika | r | < 1

   Limit jumlah itu ditentukan oleh s= a/1-r

2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika             | r | > 1 

Pengertian Suku Banyak

Merupakan bentuk aljabar yang memuat suatu variabel. Oleh karena itu, suku banyak bisa kita tulis dalam bentuk fungsi dari variabelnya. Misalnya, dengan variabel x dapat kita tulis sebagai fungsi dari x (f(x)).

Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum yaitu “ax²+bx+c = 0”. Kita tahu bahwa cara menentukan unsur-unsur dari persamaan kuadrat dapat dilakukan adalah melalui pemfaktoran, kuadrat sempurna, dan masih banyak lagi.

Dari situlah diperoleh unsur-unsurnya sebagai berikut: (ax+b)(cx+d) = 0. Lalu pertanyaannya, bagaimana cara menentukan suku-suku persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 yaitu ax³+bx²+cx+d = 0? Sistem persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 disebut dengan polinomial.

Contoh persamaan dari sistem polinomial adalah 2x³+5x²+6x=8 = 0.

Perlu kita ketahui jika persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan sistem persamaan kuadrat yaitu : operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka : 

f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 

f(x) x g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n). 

Jika kita ingin menentukan nilai untuk x=k, maka nilai suku banyaknya adalah f(k)=ak3+bk2+ck+d yang dapat dihitung dengan menggunakan skema Horner atau disebut juga cara Sintetik.

Contoh Soal Suku Banyak

. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0, tentukan nilai α + β dan hasil dari α.β

Jawaban : 

1. Jika  x³-4x²+5x+p dan x² +3x – 2  dibagi (x+1) memberikan sisa sama, maka p = ….

Penyelesaian:

f(-1) = g(-1)

(-1)3 – 4(-1)2 – 5(-1) + p = (-1)² + 3(-1) – 2

-10 + p = -4

p = -4+10

= 6

Selanjutnya ke depannya suku banyak tersebut masih akan mengalami pembagian dan terdapat teori sisa dari konsep tersebut. operasi hitung terhadap suku banyak juga cukup beragam.

NILAI SUKU BANYAK

Suku banyak dalam x berderajat n dapat ditulis dalam fungsi sebagai berikut:

Nilai dari suku banyak f (x) untuk x = k adalah f (k).  Nilai dari f (k) dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu:metode substitusi

• Metode substitusi
• Metode bagan/skema

TEOREMA FAKTOR

1. Pembagian dengan (x-K)

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) maka sisanya S = f(k).  Sisa f (k) adalah nilai suku banyak untuk f (k) yang dapat ditentukan dengan metode substitusi atau metode bagan.

• Pembagian dengan (ax+b)

Jika suku banyak f(x)  berderajat n dibagi dengan (ax+b) , maka sisanya S=f (-b/a)  Sisa S=f (-b/a)  adalah nilai untuk x= -b/a yang dapat ditentukan dengan metode substitusi atau metode bagan.

TEOREMA SISA

Misalkan f (x) sebuah suku banyak (x-k).  merupakan faktor dar f(x)i  jika dan hanya jika f(x) = 0. Dengan perkataan lain:

Jika x-k merupakan faktor dari f(x), maka f (k)=0

Jika f (k) = 0 maka x-k merupakan faktor dari f (x).